Взаимно обратные функции

Мы уже знаем, что такое обратные числа и теперь мы приступим к изучению обратных функций. Что же такое обратные функции и как их находить для какой-то определенной функции мы с вами подробно разберем и построим графики.

К примеру, мы имеем функцию y=f(x). Обратной функцией для нее будет функция x=g(y).

Также обратными функциями можно называть функции, которые симметричны относительно прямой и для одного значения Y существует одно значение Х.

Находятся обратные функции путем нахождения неизвестной X, а затем заменяется X на Y. Рассмотрим на примере:

У нас есть функция и необходимо найти обратную для нее функцию.

y=2x-3, находим из этого выражения Х и заменяем затем на Y, получаем:

2x=y+3

x=\frac{y+3}{2} производим замену неизвестных:

y=\frac{x+3}{2} – эта функция является обратной для функции y=2x-3, а вместе они называются взаимно обратными функциями.

Если построить их графики, то можно увидеть, что они симметричны относительно прямой.

Рассмотрим еще один пример. Необходимо найти функцию обратной функции y=x^{2}.

В этой функции для одного значения Y существует 2 значения Х, поэтому рассмотрим промежуток x\in (0;+\infty ).

x=\sqrt{y}, значит

y=\sqrt{x}

И если мы проведем прямую, как показано на рисунке, мы увидим, что эти 2 функции симметричны относительно прямой.

Свойства взаимно обратных функций

  1. Для двух взаимно обратных функций область определения одной функции совпадает с областью значения второй функции и область значений одной функции совпадает с областью определения второй функции.
  2. Графики взаимно обратных функций y=f(x) и x=g(y) являются симметричными относительно прямой y=x.
  3. Если из двух взаимно обратных функций первая функция возрастает, то и вторая функция возрастает, а если убывает, значит и вторая убывает.

Для закрепления рассмотрим еще одну функцию и найдем для нее обратную функцию.

y=(2x-4)^{2}-4 x\in [2;+\infty )

y+4=(2x-4)^{2}

\sqrt{y+4}=2x-4

\sqrt{y+4}+4=2x

\frac{\sqrt{y+4}+4}{2}=x или

\frac{\sqrt{y+4}}{2}+2=x

y=\frac{\sqrt{x+4}}{2}+2 является обратной для нашей исходной функции на промежутке x\in [2;+\infty ).