Все о треугольниках

В этой статье мы разберем такую геометрическую фигуру, как треугольник. Рассмотрим основные виды треугольников и познакомимся с важными формулами, которые помогут Вам решить практически любую задачу по этой теме. Для начала изучим основные определения и запомним их.

Треугольник – это фигура, состоящая из трех сторон.

Виды треугольников

Треугольники бывают: равносторонние, разносторонние, равнобедренные, прямоугольные, остроугольные и тупоугольные.

  1. Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. В таком треугольнике все углы также равны. Часто такой треугольник называют правильным.
  2. Разносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны разные.
  3. Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. У равнобедренного треугольника углы при основании равны.
  4. Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов равен 90 градусов. В таком треугольнике две стороны называются катетами, а третья стороны – гипотенузой.
  5. Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все 3 угла – острые.
  6. Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов больше 90 градусов, т.е. тупой.

Медиана. Биссектриса. Высота

Медиана – это отрезок, проведенный из любого угла треугольника к середине противолежащей стороны. Таким образом, медиана делит эту сторону на 2 равные части.

Следует запомнить важное правило: Медиана, проведенная в равнобедренном и равностороннем треугольнике, является биссектрисой и высотой.

Биссектриса – это луч, проведенный из любого угла треугольника, который делит этот угол на 2 равных угла.

Высота – это перпендикуляр, опущенный из любого угла треугольника к противолежащей стороне. Соответственно, высота составляет с этой стороной угол, равный 90^{0}.

Теоремы треугольников

  1. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональным синусам противолежащих углов. Записывается это в следующем виде:

\frac{a}{sin\alpha }=\frac{b}{sin\beta }=\frac{c}{sin\gamma }, где a,b,c – стороны треугольника, а \alpha ,\beta ,\gamma – противолежащие этим сторонам углы.

  1. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон этого треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc*cos\alpha

  1. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Эта Теорема применима ко всем прямоугольным треугольникам.

c^{2}=a^{2}+b^{2}

Формулы для нахождения площади треугольников

  1. S=\frac{1}{2}ah, где a – сторона треугольника, а h – высота, опущенная на эту сторону.
  2. S=\frac{1}{2}absin\alpha, где a,b – стороны треугольника, а \alpha – угол, образованный этими сторонами.
  3. Для прямоугольного треугольника соответственно площадь равна: S=\frac{1}{2}ab.
  4. Формула площади для правильного треугольника:

S=\frac{a^{2}*\sqrt{3}}{4}

  1. Формула Герона для нахождения площади треугольника:

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где p – полупериметр треугольника.

p=\frac{a+b+c}{2}

Существует конечно еще очень много формул, но с ними мы уже будем знакомиться в отдельной теме, когда будем решать более сложные задачи.