Системы уравнений первого и второго порядка

Мы уже проходили линейные уравнения, а теперь мы переходим к теме: «Решение систем уравнений первого и второго порядка». Здесь вам пригодятся знание формул сокращенного умножения и основные свойства, которые применяются к уравнениям.

Системы второго порядка называются так потому, что у неизвестных X или Y присутствует степень, равная 2. Решаются такие уравнения также, как и линейные уравнения путем нахождения X и Y любыми способами, которые существует. Сегодня мы не будем с Вами зацикливаться на каких-то определенных способах, а мы просто будем решать тем способом, который нам будет наиболее подходящим.

Начнем с простых примеров, а затем перейдем к более сложным.

Пример 1. \begin{cases} & \ x^{2}+y^{2}-2xy=1\\ & \ x+y=3 \end{cases}

Как говорилось выше, здесь нам потребуется знание формулы квадрата суммы. Получаем систему в новом виде:

\begin{cases} & \ (x-y)^{2}=1\\ & \ x+y=3 \end{cases}

Любое число в положительной степени – число положительное, поэтому получаем уже 2 системы уравнений:

\begin{cases} & \ x-y=1\\ & \ x+y=3 \end{cases}

и

\begin{cases} & \ x-y=-1\\ & \ x+y=3 \end{cases}

Здесь, как мы видим, нам потребуется применить метод сложения. Решаем первую систему и получаем:

\begin{cases} & \ 2x=4\\ & \ x+y=3 \end{cases}

\begin{cases} & \ x=2\\ & \ x+y=3 \end{cases}

\begin{cases} & \ x=2\\ & \ y=1 \end{cases}

Теперь решаем вторую систему:

\begin{cases} & \ 2x=2\\ & \ x+y=3 \end{cases}

\begin{cases} & \ x=1\\ & \ x+y=3 \end{cases}

\begin{cases} & \ x=1\\ & \ y=2 \end{cases}

В данном случае мы получили 2 решения!

Ответ: (1;2) и (2;1)

Пример 2. \begin{cases} & \ x^{2}+y^{2}=9\\ & \ y-x=-3 \end{cases}

Решить такую систему можно несколькими способами и каждый выбирает для себя самый удобный!

Возводим в квадрат нижнее уравнение и получаем:

\begin{cases} & \ x^{2}+y^{2}=9\\ & \ y^{2}-2xy+y^{2}=9 \end{cases}

Затем используем метод сложения(вычитания):

\begin{cases} & \ x^{2}+y^{2}=9\\ & \ -2xy=0 \end{cases}

Из получившегося уравнения мы можем сказать, что оно имеет 2 решения:

  1. Когда x=0
  2. Когда y=0

Подставляем полученные значения в наше первое уравнение и получаем:

\begin{cases} & \ x^{2}+y^{2}=9\\ & \ y-x=-3 \end{cases}

\begin{cases} & \ x^{2}+y^{2}=9\\ & \ y =-3 \end{cases}, когда x=0

\begin{cases} & \ x^{2}+y^{2}=9\\ & \ x =3 \end{cases}, когда y=0

Ошибки многих учеников: Когда мы нашли X и Y, то подставлять их нужно не в уравнение x^{2}+y^{2}=9, а в уравнение y-x=-3, иначе мы получим еще 2 решения, которые не соответствуют нашему первоначальному условию!

Пример 3. \begin{cases} & \ x^{2}-1=0\\ & \ xy^{2}=-4 \end{cases}

Решаем и получаем:

\begin{cases} & \ x^{2}=1\\ & \ xy^{2}=-4 \end{cases}

Значит X равен 1 и -1. Но если мы подставим x=1 во второе уравнение, то увидим, что число в квадрате получается отрицательное. Значит x=1 – мнимый корень.

В итоге получается:

\begin{cases} & \ x=-1\\ & \ y^{2}=4 \end{cases}

\begin{cases} & \ x=-1\\ & \ y=2 \end{cases} – первое решение.

\begin{cases} & \ x=-1\\ & \ y=-2 \end{cases} – второе решение.

Ответ: (-1;2) и (-1;-2)

Как видите, решается все не так сложно, а главное – необходимо запомнить формулы сокращенного умножения и способы решения систем уравнений.