Системы линейных уравнений

В данной статье мы познакомимся с системами линейных уравнений. Изучим основные определения и узнаем какие методы решения систем существуют. Также рассмотрим несколько примеров на практике.

Система линейных уравнений – это условие, состоящее из одновременного выполнения нескольких уравнений, отделенных одной фигурной скобкой.

Выглядит система линейных уравнений следующим образом:

\begin{cases} & \ x+y=5 \\ & \ x-2y=-4 \end{cases}

Давайте узнаем какие методы существуют для решения системы уравнений. Существует конечно огромное количество методов, но в школьной программе используются всего 3 методы. Они являются наиболее популярными. Ниже записаны эти методы.

  1. Метод подстановки
  2. Метод сложения(вычитания)
  3. Графический метод.

Следует отметить, что на самом деле на практике используют первые 2 метода. Графический метод тоже применяют, но для быстрого решения он не подходит, так как требует немного времени, чтобы все это отразить на рисунке.

Итак рассмотрим на практике каждый из этих методов.

  1. Решить систему уравнений методом подстановки:

\begin{cases} & \ x+y=5 \\ & \ x-2y=-4 \end{cases}

Разъясняю, как решать методом подстановки. Это когда одну из неизвестных необходимо выразить другой, т.е. х выражаем через y.

\begin{cases} & \ x+y=5 \\ & \ x-2y=-4 \end{cases}

\begin{cases} & \ x=5-y \\ & \ x-2y=-4 \end{cases}

\begin{cases} & \ x=5-y \\ & \ (5-y)-2y=-4 \end{cases}

\begin{cases} & \ x=5-y \\ & \ 5-3y=-4 \end{cases}

\begin{cases} & \ x=5-y \\ & \ -3y=-4-5 \end{cases}

\begin{cases} & \ x=5-y \\ & \ -3y=-9\end{cases}

\begin{cases} & \ x=5-y \\ & \ y=3\end{cases}

\begin{cases} & \ x=5-3 \\ & \ y=3\end{cases}

\begin{cases} & \ x=2 \\ & \ y=3\end{cases}

Ответ: (2;3)

  1. Решить систему уравнений методом сложения(вычитания):

\begin{cases} & \ 2x+3y=12 \\ & \ x-y=4 \end{cases}

Метод сложения или вычитания называется потому, что мы из одного уравнения вычитаем или прибавляем другое уравнение. Но прежде чем производить сложение или вычитание необходимо привести коэффициенты у неизвестных одного уравнения к коэффициентам другого уравнения. У нас у первого уравнения 2х и 2у, а у второго – х и у. Для этого нам необходимо обе части второго уравнения умножить на 2.

\begin{cases} & \ 2x+3y=12 \\ & \ x-y=4 \end{cases}

\begin{cases} & \ 2x+3y=12 \\ & \ 2x-2y=8 \end{cases}

\begin{cases} & \ 2x+3y=12 \\ & \ (2x+3y)-(2x-2y)=12-8 \end{cases}

\begin{cases} & \ 2x+3y=12 \\ & \ 2x+3y-2x+2y=4\end{cases}

\begin{cases} & \ 2x+3y=12 \\ & \ 5y=4 \end{cases}

\begin{cases} & \ 2x+3y=12 \\ & \ y=\frac{4}{5} \end{cases}

\begin{cases} & \ 2x+3*\frac{4}{5}=12 \\ & \ y=\frac{4}{5} \end{cases}

или y=0.8

\begin{cases} & \ 2x+\frac{12}{5}=12 \\ & \ y=0.8 \end{cases}

\begin{cases} & \ 2x+2.4=12 \\ & \ y=0.8 \end{cases}

\begin{cases} & \ 2x=12-2.4 \\ & \ y=0.8 \end{cases}

\begin{cases} & \ 2x=9.6 \\ & \ y=0.8 \end{cases}

\begin{cases} & \ x=4.8 \\ & \ y=0.8 \end{cases}

Ответ: (4.8;0.8)

  1. Решить систему уравнений графическим методом:

\begin{cases} & \ x+y=5 \\ & \ x-2y=-4 \end{cases}

Решим нашу первую систему графическим методом, чтобы вы поняли, что решать можно любым способом и результат будет тот же.

Для того, чтобы решить эту систему нам необходимо будет построить 2 графика. Первый график будет графиком функции первого уравнения, а второй график – графиком функции второго уравнения.

Чтобы построить график, необходимо в каждом уравнении выразить у через х. Выражаем:

\begin{cases} & \ y=5-x \\ & \ -2y=-4-x \end{cases}

\begin{cases} & \ y=5-x \\ & \ y=2+\frac{x}{2}\end{cases}

Рисуем эти 2 графика функции и точка их пересечения и будет решением этой системы уравнений.

Как мы видим из графика – пересекаются они в точке, где х=2, а у=3

Ответ: (2;3)