Решение логарифмических уравнений

В предыдущих статьях мы уже изучили основные свойства логарифмов, поэтому сейчас мы с вами подробно все рассмотрим на реальных примерах. Решать мы будем логарифмические уравнения.

Сразу переходим к практике и решим самые разные уравнения.

Пример 1. lg^{2}x-lgx-2=0

Мы проходили, что lg – это десятичный логарифм, у которого основание равно 10.

Для того, чтобы решить такое уравнение, необходимо заменить наш логарифм какой-нибудь переменной. Назовем эту переменную X.

В результате получаем обычное квадратное уравнение, которое решается абсолютно легко либо с помощью нахождения дискриминанта, либо при помощи теоремы Виета.

x^{2}-x-2=0

Решаем и получаем, что x_{1}=2, x_{2}=-1

Теперь возвращаем назад наш логарифм:

lgx=2, где x=100, так как в основании стоит число 10, а 10 в квадрате равно 100.

lgx=-1, где x=0.1.

Пример 2. log_{2}(54-x^{3})=3log_{2}x

Для того, чтобы решить это уравнение, нам необходимо привести обе стороны уравнения к чему-то общему. Мы видим, что основания у двух логарифмов одинаковые, поэтому мы можем легко решить это уравнение.

54-x^{3}=x^{3}, учитывая свойства логарифма.

Решаем это уравнение и получаем:

2x^{3}=54, x^{3}=27, x=3.

Пример 3. Решить систему уравнений

\begin{cases} & \ 3^{x}*2^{y}=972\\ & \ log_{\sqrt{3}}(x-y)=2 \end{cases}

На первый взгляд может показаться, что все очень сложно, но зная свойства логарифмов, все решается достаточно просто.

\begin{cases} & \ 3^{x}*2^{y}=972\\ & \ x-y=\sqrt{3}^{2} \end{cases}

\begin{cases} & \ 3^{x}*2^{y}=972\\ & \ x-y=3 \end{cases}

Решаем эту систему уравнений методом подстановки.

\begin{cases} & \ 3^{x}*2^{y}=972\\ & \ x=3+y \end{cases}

\begin{cases} & \ 3^{3+y}*2^{y}=972\\ & \ x=3+y \end{cases}

\begin{cases} & \ 3^{3}*3^{y}*2^{y}=972\\ & \ x=3+y \end{cases}

\begin{cases} & \ 27*6^{y}=972\\ & \ x=3+y \end{cases}

\begin{cases} & \ y=2\\ & \ x=3+y \end{cases}

\begin{cases} & \ y=2\\ & \ x=5 \end{cases}.

Как видите, сложного ничего нет! Зная свойства логарифмов, можно решить любой даже самый сложный пример.

Постарайтесь решить сами

  1. 2^{log_{2}x^{2}+4x+1}=8x+1
  2. log_{3}x^{2}+2x-1=3
  3. log_{\frac{1}{5}}x^{2}=0