Решение квадратных уравнений при помощи теоремы Виета

Как говорилось в предыдущих статьях квадратные уравнения можно решать многими способами. Мы проходили тему «Решение квадратных уравнений при помощи дискриминанта». Сегодня мы рассмотрим еще один быстрый способ, при помощи которого достаточно легко можно решить сложное уравнение. Этот способ называется «Решение квадратных уравнений при помощи теоремы Виета».

Теорема Виета. Если квадратное уравнение вида x^{2}+px+q=0 имеет корни x_{1} и x_{2}, то сумма этих корней равна -p, а их произведение равно q.

Записать эту теорему можно следующим образом:

x^{2}+px+q=0

\begin{cases} & \text{ } x_{1}+x_{2}=-p \\ & \text{ } x_{1}*x_{2}=q \end{cases}

Следует запомнить важный момент, что данная теорема выполняется при условии, когда коэффициент перед x^{2} равен 1. Поэтому, если встречаются квадратные уравнения с другим коэффициентом, то от него необходимо избавляться.

Также существует теорема, обратная теореме Виета.

Если числа x_{1} и x_{2} таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то x_{1} и x_{2} являются корнями квадратного уравнения x^{2}+px+q=0.

Если возникают трудности при решении уравнений при помощи теоремы Виета, можете решить его любым другим способом, а проверить корни уравнения при помощи этой теоремы.

Теперь перейдем к практике и решим квадратное уравнение:

x^{2}-8x+7=0

\begin{cases} & \text{ } x_{1}+x_{2}=8 \\ & \text{ } x_{1}*x_{2}= 7 \end{cases}

Тут явно видно, что корнями уравнения являются числа 1 и 7, так как 1+7=8 и 1*7=7

Как видите, все очень просто и легко. Не нужно высчитывать дискриминант и времени ушло совсем немного.

Давайте разберем посложнее квадратное уравнение:

2x^{2}-5x+2=0

Как упоминалось ранее, необходимо избавляться от коэффициента перед x^{2}, если он отличен от 1.

Для этого все слагаемые необходимо разделить на этот коэффициент.

\frac{2x^{2}}{2}-\frac{5x}{2}+\frac{2}{2}=0, получаем

x^{2}-\frac{5}{2}x+1=0, далее записываем решение

\begin{cases} & \text{ } x_{1}+x_{2}=\frac{5}{2} \\ & \text{ } x_{1}*x_{2}=1 \end{cases}

Если немного проанализировать, то станет понятно, что корнями являются числа \frac{1}{2} и \frac{4}{2}, так как сумма корней \frac{4}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}, а произведение их равно \frac{4}{4}, т.е. 1.

Еще раз повторю, бывают уравнения, когда по теореме Виета сложно будет логически определить корни уравнения, в этом случаем решаем любым Вам известным методом, а теорему использовать в качестве проверки.