Решаем логарифмы

Сегодня разберем с Вами тему: «Основные свойства логарифмов». Свойств у логарифмов очень много, поэтому будем записывать каждое свойство и сразу приводить пример, чтобы было более понятно. Изучив данную тему, мы приступим к решению логарифмических уравнений и неравенств, но это чуть позже.

Как уже мы знаем из предыдущей статьи, логарифмом называется показатель степени, в которую необходимо возвести основание, чтобы получилось число:

log_{a}b=x, где a^{x}=b.

И мы знаем, что имеется два условия: a>0, a\neq 1, и b>0.

Основные свойства логарифмов

  1. log_{a}1=0. Любое число в нулевой степени всегда равно 1.

log_{105}1=0

  1. log_{a}b*c=log_{a}b+log_{a}c

log_{2}4*8=log_{2}4+log_{2}8=2+3=5

  1. log_{a}\frac{b}{c}=log_{a}b-log_{a}c

log_{3}\frac{81}{9}=log_{3}b81-log_{3}9=4-3=1

  1. log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}*log_{a}b

log_{2^{3}}4=\frac{1}{3}*log_{2}4=\frac{1}{3}*2=\frac{2}{3}

  1. log_{a}b^{n}=n*log_{a}b

log_{4}16^{2}=2*log_{4}16=2*2=4

  1. log_{a}a=1

log_{100}100=1

  1. log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}

log_{4}2=\frac{1}{log_{2}4}=\frac{1}{2}

  1. a^{log_{a}b}=b

5^{log_{5}25}=25

  1. log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}

log_{3}8=\frac{log_{2}8}{log_{2}3}=\frac{3}{log_{2}3}

  1. a^{log_{b}c}=c^{log_{b}a}

9^{log_{3}5}=5^{log_{3}9}=5^{2}=25

  1. log_{a}b*log_{b}a=1

log_{2}4*log_{4}2=2*\frac{1}{2}=1

Существует еще 2 очень важных момента, которые необходимо запомнить!

  1. Если основание у логарифма равно 10, то такой логарифм называется десятичным логарифмом. В таком логарифме основание не пишется, но подразумевается, что там стоит число 10. Обозначается такой логарифм просто lg:

lg100=2, так как основание равно 10.

  • 2. Логарифм по основанию e, называют натуральным логарифмом. Также как и в десятичном логарифме число e не пишется, но подразумевается и записывается просто ln. Обычно такие логарифмы встречаются в уравнениях.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислите:

  1. lg10-log_{2}4
  2. log_{3}4*log_{4}5
  3. log_{4}log_{2}16
  4. log_{4}log_{2}16
  5. log_{3}81+lg100-lne+10