Прямоугольник и его свойства

Казалось бы, что все мы прекрасно знаем, что такое прямоугольник и все умеем решать задачки про него. Но у многих людей часто возникают элементарные ошибки. Давайте познакомимся со всеми основными свойствами этой фигуры и для закрепления решим задачу.

Существует 2 основных определения прямоугольника:

  1. Прямоугольник – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны, и все углы – прямые.

  2. Прямоугольник – это параллелограмм, которого диагонали равны между собой.

Свойства прямоугольника

  1. У прямоугольника противоположные стороны параллельны и равны. Это мы уже знаем из определения. AB=CD, BC=AD и AB| |CD, BC| |AD.
  2. Диагонали прямоугольника равны. AC=BD
  3. В прямоугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. AO=OC=BO=OD
  4. Диагонали прямоугольника делит прямоугольник на 2 равных прямоугольных треугольника. \triangle ABD=\triangle BCD.

Формулы прямоугольника

Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон.

P=a+b+a+b=2(a+b)

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.

S=a*b

Формула зависимости сторон прямоугольника от его диагоналей:

Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов всех его сторон. d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2a^{2}+2b^{2}

А так как диагонали равны можно записать эту формулу в удобном виде: 2d^{2}=2a^{2}+2b^{2} или d^{2}=a^{2}+b^{2}.

Таким образом, зная стороны прямоугольника всегда можно найти длину его диагоналей.

Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника:

Окружностью, описанной вокруг прямоугольника, называется такая окружность, когда все стороны прямоугольника лежат на ней. Центр такой окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей прямоугольника.

R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}

Следует запомнить, что вписать окружность в прямоугольник и параллелограмм нельзя, так как сумма противолежащих сторон у них не равны между собой.

Решим задачу. Площадь прямоугольника равна 36 36cm^{2}. Найдите его диагонали, если известно, что одна из сторон прямоугольника равна 4cm.

Зная формулу площади записываем:

S=a*b, 36=4*b, где b=9

Зная зависимость между диагоналями прямоугольника записывает также:

d^{2}=a^{2}+b^{2}

d^{2}=9^{2}+4^{2}

d^{2}=97

d=\sqrt{97}

Ответ: диагонали прямоугольника равны \sqrt{97}

Это конечно задача не из сложных, но главное понять суть и запомнить одно правило: «При решении задач необходимо четко и понятно нарисовать картинку, чем понятнее вы нарисуете, тем легче и быстрее вы решите задачу!»