Одночлены и многочлены

В данной статье мы полностью разберем все важные моменты и нюансы, с которой сталкиваются ученики при решении одночленов и многочленов. Изучим основные определения и рассмотрим примеры на эту тему.

Одночлен. Одночлен – это произведение чисел и неизвестных, которые могут также содержать степень. В одночлене не могут присутствовать знаки «+» или «-». Если эти знаки присутствуют, то это уже не одночлен.

Приведем пример одночленов:

3x^{2}y или x^{2}y^{3}z, или 3 – это тоже одночлен.

Степень одночлена. Степенью одночлена называется сумма всех степеней элементов, находящихся в одночлене.

К примеру, у 3x^{2}y степень одночлена равна 3, так как у х степень равна 2, а у у=1 отсюда следует: 2+1=3.

У этого одночлена x^{2}y^{3}z степень равна 2+3+1=6

Если одночлен состоит только из числа, то у такого одночлена степень считается равной 0. Таким образом, у одночлена 3 степень равна 0.

Многочлен. Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов (или просто сумма одночленов).

Приведем примеры многочленов:

3x^{2}+2x или 5xy+2x+3x^{2}

Степень многочлена. Степенью многочлена называется наибольшая степень одночлена. То есть, если многочлен состоит из нескольких одночленов, то у каждого одночлена высчитывается степень и самая максимальная степень из этих одночленов будет степенью многочлена.

Например, у многочлена 3x^{2}+2x степень будет равной 2, так как у первого одночлена 3x^{2} степень равна, а у второго одночлена 2х степень равна 1, а наибольшая степень у них — это 2.

У многочлена 5xy+2x+3x^{2} степень будет равной 2.

Если многочлен состоит из двух одночленов, то он называется двучленом. 3x^{2}+2x – двучлен.

Если многочлен состоит из трех одночленов, то он называется трехчленом. 5xy+2x+3x^{2} – трехчлен.

Практическая часть

Пример 1. Приведите выражение к стандартному виду многочлена и определите его степень:

(a+b)(a-b)+2а

Зная формулы сокращенного умножения решаем.

(a+b)(a-b)+2а=a^{2}-b^{2}+2а

Таким образом мы имеем трехчлен, необходимо высчитать у каждого одночлена его степень.

У одночлена a^{2} степень равна 2, у одночлена b^{2} степень равна также 2, а у одночлена 2а степень равна 1.

Значит наибольшая степень равна 2. Таким образом, степень данного многочлена равна 2.

Пример 2. Приведите выражение к стандартному виду многочлена и найдите его степень:

3x^{2}y-2xy-12(3x^{2}y)

Для решения раскрываем скобки и упрощаем полученное выражение.

3x^{2}y-2xy-12(3x^{2}y)=3x^{2}y-2xy-36x^{2}y=-33x^{2}y-2xy

Таким образом, перед нами двучлен. Находим степень каждого из одночленов. У первого одночлена степень равна 3, а второго – 2. Значит степень многочлена равна 3.

Пример 3. Найдите степень одночлена:

MATEMATIКА

Для того, чтобы подсчитать степень такого одночлена, необходимо упростить.

MATEMATIКА = A^{3}M^{2}T^{2}EIK

Степень данного одночлена равна 10.