Модули. Основные понятия. Практика

Тема «Модули» сама по себе является не очень сложной, но многие испытываю трудности при решении уравнений. Вроде бы все ясно и понятно, но как доходит дело до примеров, сразу возникают вопросы. Поэтому в данной статье мы рассмотрим основные понятия модуля и решим сложные уравнения.

Модулем числа a называется расстояние от начала координат до этой точки a.

Записывается определение модуля таким образом:

\left | x \right |=\begin{cases} & \text{ x, if } x> 0 \\ & \text{ -x, if } x< 0 \end{cases}

График функции y=\left | x \right | выглядит следующим образом:

Как мы видим из графика, значение модуля может принимать только положительные значения.

Из этого следует, что модуль любого числа – есть число положительное.

\left | 5 \right |=5

\left | -5 \right |=5

\left | -23 \right |=23

Как вы видите все очень просто. Теперь рассмотрим более сложные случаи, когда имеются под модулем неизвестные значения и сразу попробуем решить уравнения.

\left | x \right |=5

x=\pm 5, так как любое число из под модуля – есть положительное число.

Следующий пример:

\left | x+5 \right |=10

Выражение под модулем может быть как положительным, так и отрицательным.

x+5=10

И

x+5=-10

Решим эти 2 уравнения:

x+5=10, отсюда x=5

x+5=-10, отсюда x=-15

Теперь решим уравнение с 2-мя модулями.

\left | x+3 \right |+\left | x-7 \right |=15

Для решения таких примеров, необходимо построить числовую ось и на ней отобразить числа, при которых каждый из модулей обращается в нуль. Смотрим на рисунок:

В первом случае берем отрицательные значения модуля:

-x-3-x+7=15

-2x=15+3-7

-2x=11

x=-5.5, так как этот ответ входит в диапазон, значит это решение верно.

Во втором случае берем отрицательные и положительные значения модуля:

-x-3+x-7=15, это уравнение не имеет решения.

И наконец, последний диапазон, берем только положительные значения модуля:

x+3+x-7=15

2x=15+7-3

2x=19

x=9.5, число входит в диапазон, значит это решение верно.

Таким образом, данное уравнение имеет в решения:

x=5.5

и

x=9.5

Как вы видите, ничего сложного нет. Главное необходимо запомнить алгоритм для таких уравнений.