Корни. Квадратные, кубические и n-й степени

Вот мы подошли к очень важной теме, с которой при изучении не всегда легко ученики справляются. На самом же деле, эта тема не считается очень сложной, но стоит внимательно отнестись к ней, так как корни будут присутствовать при решении примеров очень часто.

Корнем называется обратное действие возведению в степень. Обозначается корень знаком \sqrt{x}, а все что находится под знаком корня, называется подкоренным выражением.

К примеру мы имеем какое-то уравнение x^{2}=4, мы итак знаем, что х будет равен \pm 2, но как мы это определили? Так вот, для этого и существуют корни, чтобы найти число, обратное возведению в степень. Записывается это так:

x=\pm \sqrt{4}=\pm 2

Почему у нас \pm, а все потому, что любое число в положительной степень – есть положительное число. Поэтому в данном случае решением будут 2 числа, одно – положительное, а другое отрицательное.

Существует огромное множество корней. Это: квадратные корни \sqrt{x}, кубические корни \sqrt[3]{x}, корни четвертой степени \sqrt[4]{x} и так далее до бесконечности.

Для решения примеров чаще всего конечно используются квадратные и кубические корни, но бывают случаи корней и с более высокими степенями.

Так вот, под знаком квадратного корня может быть только положительное число, а под знаком кубического корня может быть и положительное и отрицательное число. Но если в кубическом корне стоит отрицательное число, то «-» выносится за знак корня. \sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}

Также корневое выражение можно записывать и в виде степени.

\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}

Или

\sqrt[3]{2}=2^{\tfrac{1}{3}}

Также можно и степенное выражение переводить в корневое выражение.

2^{\frac{1}{2}}= \sqrt{2}

2^{\tfrac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}

Корни можно складывать, вычитать и умножать между собой, но если эти корни одинаковые.

2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=-\sqrt{2}

2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}

2\sqrt{2}*3\sqrt{2}=6\sqrt{4}=6*2=12

Таким образом, при умножении двух одинаковых корней числа перемножаются, а корень остается прежним.

Теперь решим несколько примеров.

Пример 1.

2\sqrt{4}-3\sqrt{8}+5

Выводим все, что возможно вытащить из под знака корня и решаем.

2\sqrt{4}-3\sqrt{8}+5=2*2-3\sqrt{4*2}+5

Как вы поняли если число не выводится полностью из под корня его необходимо разложить на простые множители.

2\sqrt{4}-3\sqrt{8}+5=2*2-3\sqrt{4*2}+5=4-3*2\sqrt{2}+5=9-6\sqrt{2}

Это уже окончательный ответ, так как 2 не выносится из под корня.

Пример 2.

2\sqrt{3}-\sqrt[3]{16}

Также, как и в первом примере, необходимо число 18 разложить на простые множители.

2\sqrt{3}-\sqrt[3]{16}=2\sqrt{3}-\sqrt[3]{8*2}=2\sqrt{3}-2\sqrt[3]{2}

Так как у нас корни разной степени, в первом случае – квадратный корень, а во втором – кубический, мы их не можем складывать, поэтому ответ оставляем в таком виде.