Комплексное решение квадратного уравнения

Как мы уже знаем квадратное уравнение можно решать несколькими способами. Сейчас мы с вами рассмотрим еще один способ решения квадратных уравнений, когда дискриминант меньше нуля.

Мы знаем, что если в уравнении D<0, то уравнение не имеет действительных корней. Но при решении с помощью комплексных чисел, корни при D<0 найти можно.

Комплексным числом называется такое число, которое можно записать в виде: a+bi, где i – мнимая единица. Для мнимой единицы выполняется условие: i^{2}=-1.

Теперь решим пример, в котором дискриминант будет меньше нуля.

Пример. x^{2}+2x+3=0

Находим дискриминант:

D=4-12=-8

Находим корни уравнения:

x_{1}=\frac{-2-\sqrt{-8}}{2}

x_{2}=\frac{-2+\sqrt{-8}}{2}

Уже зная, что i^{2}=-1 или i=\sqrt{-1}, решаем:

x_{1}=\frac{-2-\sqrt{-1}*\sqrt{8}}{2}=\frac{-2-2\sqrt{2}*i}{2}=-1-\sqrt{2}i

x_{2}=\frac{-2+\sqrt{-1}*\sqrt{8}}{2}=\frac{-2+2\sqrt{2}*i}{2}=-1+\sqrt{2}i

Вот мы и получили 2 комплексных числа, которые являются корнями квадратного уравнения.

Примеры для самостоятельного решения

  1. 2x^{2}-3x+5=0
  2. 3x^{2}-6x+7=0
  3. 5x^{2}+2x+1=0