Формулы сокращенного умножения

Многие ученики, когда проходили одночлены и многочлены, знают, что приходилось вручную перемножать скобки между собой. Но зная формулы сокращенного умножения, можно ускорить себе время, не перемножая каждый элемент. Это конечно бывает не всегда, но если вдруг вам попадается пример, связанный с этими формулами, вы в считанные секунды его решите.

Какие бывают примеры и как они решаются, сейчас мы с вами подробно все рассмотрим. Но для начала основное требование – НЕОБХОДИМО ВЫЗУБРИТЬ ЭТИ ВАЖНЫЕ ФОРМУЛЫ НАИЗУСТЬ!

Теперь переходим к практике и решим примеры на каждую из этих формул.

Пример 1.

(a+b)^{2}-2ab+3a

Зная формулу квадрата суммы решаем и получаем в итоге

a^{2}+2ab+b^{2}-2ab+3a

Далее сокращаем, если можно сократить и складываем подобные члены, если можно сложить и получаем

a^{2}+b^{2}+3a

Пример 2.

(3x-5y)^{2}+2xy-4

Как обычно, зная формулу квадрата разности, раскрываем скобки и получаем

9x^{2}-2*3x*5y+25y^{2}+2xy-4

Затем, как всегда, приводим к нормальной записи

9x^{2}-30xy+25y^{2}+2xy-4

И получаем

9x^{2}-28xy+25y^{2}-4

Сократить больше здесь не получается, поэтому оставляем ответ в таком виде.

Пример 3.

Решим пример на разность квадратов и квадрат суммы

(2x-3y)(3y+2x)-(x+y)^{2}

Следует помнить, что всегда для начала необходимо посмотреть на пример и найти там какую-то логику!

Что мы видим в этом примере?

А мы видим (2x-3y)(3y+2x) и это напоминает нам формулу (a-b)(a+b), только значения расположены в разных местах. Что же делать в этом случае.

(3y+2x) можно записать в виде (2x+3y) – От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется!

Получаем

(2x-3y)(3y+2x)-(x+y)^{2}=

(2x-3y)(2x+3y)-(x+y)^{2}

Первую часть решаем по формуле разности квадратов, а вторую часть по формуле квадрата суммы и получаем:

4x^{2} -9y^{2}-x^{2}-2xy-y^{2}

Как всегда приводим к общему виду:

3x^{2}-10y^{2}-2xy

Пример решен!

Все остальные примеры на кубы решаются подобным образом, сложного ничего нет, просто необходимо запомнить все эти формулы. Примеры на кубы следует выполнить самостоятельно, используя формулы. Если при решении возникнут вопросы, пишите в комментариях!

Примеры для самостоятельного решения

Пример 1.

(4x-3y)^{2}-(x-2y)^{3}

Пример 2.

(x^{2}-2xy+y^{2})-(x+y)(x^{2}-2xy+y^{2})

Пример 3.

(2x-3y)^{3}-(2x-4y)^{2}